Laboratorio del corso di Logica

Anno accademico 2025/26

Turno B

Docente: Camillo Fiorentini

Avvisi

La lezione del 21 aprile è sospesa. Il corso terminerà il 26 maggio.

Orario delle lezioni

Per le informazioni sull'organizzazione del corso (suddivisione in turni, esami, ecc.) fare riferimento alla pagina del corso di Logica.

Sono previste 11 lezioni:
3, 10, 17, 24, 31 marzo;
14, 28 aprile;
5, 12, 19, 26 maggio.

Eventuali variazioni di orario verranno comunicate nella sezione Avvisi di questa pagina.

Ricevimento

Si raccomando di usare il proprio indirizzo di posta di ateneo (della forma nome.cognome@studenti.unimi.it) e di indicare il proprio nome e cognome.

Libro di testo di riferimento

Materiale relativo alle lezioni

Esercizi del libro di testo: Cap. 2-8 (pdf), Cap. 9-14 (pdf), Cap. 16 (pdf).

Tabella dei predicati del linguaggio dei blocchi (pdf).

Regole in Fitch (pdf).

• 3 marzo - Laboratorio 1
  Introduzione all'uso di Tarski's World. Documentazione online (in inglese).
• 10 marzo - Laboratorio 2
  
  • Parte 1.
    • Definizione di modelli in Tarski: 3.3, 3.13.
    • Traduzione da linguaggio naturale: 3.21, tradurre almeno le prime 5 frasi (traduzione in italiano). L'esercizio 3.22 propone dei test per verificare la correttezza delle traduzioni fatte.
  • Parte 2.
    • Costruzione tavole di verità in Bool, verificare se le proposizioni sono tautologie: 4.2.
    • Continuazione esercizio 4.2: 4.3 (annotare risposte su file .txt).
  • Parte 3.
    • Esercizio 4.9.1 (stabilire enunciati tautologicamente possibili: 1,2,3,5,6,7,8,10): costruire la tabella come file .txt.
    • Esercizio 4.9.2 (stabilire enunciati possibili nel mondo dei blocchi: 1,2,3,5,6,7,8,10): costruire la tabella come file .txt.
    • Facoltativo 4.9.3.
• 17 marzo - Laboratorio 3
  • Dimostrare in Fitch le seguenti argomentazioni, non vanno usate regole Ana Con e Taut Con: 6.5, 6.6, 6.8 (da completare).
  • Nei seguenti esercizi, se il ragionamento è valido costruire una derivazione in Fitch, altrimenti costruire un controesempio in Tarski. È possibile usare Ana Con, ma solo per introdurre ⊥ avendo come assunzioni due proposizioni atomiche che nel mondo dei blocchi si contraddicono l'un l'altra (ad esempio, è possibile derivare ⊥ dalle assunzioni Cube(a) e Tet(a), in quanto un blocco non può essere contemporaneamente un cubo e un tetraedro): 6.11, 6.12, 6.13, 6.36.
  • Costruire una derivazione in Fitch per i seguenti ragionamenti (sono tutti validi); non vanno usate regole Ana Con e Taut Con: 6.18, 6.19, 6.20, 6.24, 6.25.
• 24 marzo - Laboratorio 4
  • Parte 1
    • Verifica dell'equivalenza tatutologica di due proposizioni mediante le tavole di verità (da costruire usando Boole): 7.2, 7.5.
    • Traduzione di proposizioni da linguaggio naturale (scrivere le proposizioni in Tarski): 7.12; tradurre almeno 1,2,3,5,6,7,8 (traduzione in italiano).
      Facoltativo: per controllare la soluzione, vedere esercizio 7.13.
    • Costruzione di un modello (in Tarski): 7.14.
  • Parte 2
    • I seguenti ragionamenti possono essere veri o falsi. Se veri, costruire una derivazione in Fitch, senze usare Taut Con né Ana Con, altrimenti costruire un contromodello in Tarski (in quest'ultimo caso le formule A, B e C vanno istanziate con opportune formule del linguaggio di Tarski): 8.20, 8.21, 8.22, 8.23, 8.24.
    • Derivazioni in Fitch di ragionamenti validi. Non usare Taut Con né Ana Con. Si raccomanda di impostare su carta lo schema della dimostrazione prima di scriverla in Fitch: 8.26, 8.28.
      Nei seguenti esercizi è possibile usare TautCon per introdurre istanze del principio del terzo escluso: 6.40, 6.41.
• 31 marzo - Laboratorio 5
  Esercizi riassuntivi sulla logica proposizionale (derivazioni in Fitch, controesempi). Nelle derivazioni in Fitch, usare Taut Con e Ana Con solo se esplicitamente consentito. Si raccomanda di impostare su carta lo schema della dimostrazione prima di scriverla in Fitch.
  
  • Parte 1
    Derivazioni in Fitch di ragionamenti validi (nota): 8.33 (traduzione formale del ragionamento dell'esercizio 8.5, vedi file prf)., 8.31 (traduzione formale di 8.3; è possibile usare Taut Con per introdurre una istanze del principio del terzo escluso, vedi file prf), 8.32 (traduzione di 8.4, vedi file prf), 8.34 (è possibile usare Ana Con per derivare ⊥ da due proposizioni atomiche), 8.35.
  • Parte 2 (esercizi assegnati in uno degli scorsi esami).
    Dimostrare in Fitch che le seguente formula è una tautologia tautologia: ¬ A ∨( ¬ B → ¬( A → B )) (scaricare file prf ). Suggerimento Mostrare che, assumendo la negazione della tautologia, si arriva a una contraddizione (si deriva ⊥).
    Dimostrar in Fitch e la seguente argomentazione avente una premessa (a sinistra di ⊧) e una conclusione (a destra di ⊧) è valida: ¬( ¬ ( ¬ A ∨ B ) ∨ B) ∨ B ⊧ A → B (scaricare file prf ).
  • Parte 3
    Se il ragionamento è valido, costruire una derivazione in Fitch, altrimente fornire un controesempio con Tarski. È possibile usare Ana Con per derivare ⊥ da due proposizioni atomiche: 8.44, 8.45 (il ragionamento è valido, usare TautCon per introdurre una opportuna istanza del principio del terzo escluso), 8.46, 8.47, 8.48, 8.52.
    Ulteriori esercizi: 8.49, 8.50, 8.51, 8.53.
    
• 14 aprile - Laboratorio 6
  • Parte 1
    • Verifica sintassi formule (Tarski): 9.1.
      Ulteriore esercizi: 9.5.
  • Parte 2
    • Costruzione di modelli: 9.9.
    • Validità di enunciati in un modello e traduzione (con uso Play Game) : 9.10.
    • Costruzione di modelli o mostrare che non esistono: 9.11.
    • Completare modello: 9.14.
  • Parte 3
    • Esercizi di traduzione (da svolgere usando Tarski): 9.16 (esistenziali), frasi 1-8 (traduzione in italiano).
      9.17 (universali), frasi 1-8 (traduzione in italiano).
      Come ulteriore esercizio, tradurre le rimanenti frasi.
• 28 aprile - Laboratorio 7
  
  • Parte 1
    • Distinguere se le seguenti argomentazioni sono (a) tautologicamente valide, (b) logicamente ma non tautologicamente valide, (c) non valide.
      Esercizi: 10.2, 10.3, 10.4
    • Le seguenti argomentazioni sono valide. Distinguere se le conclusioni sono (a) conseguenza tautologica delle premesse, (b) conseguenza al primo ordine delle premesse (FO) ma non conseguenza tautologica, (c) conseguenza nel mondo dei blocchi delle premesse ma non conseguenza tutologica e neppure conseguenza al primo ordine. In quest'ultimo caso, descrivere in un file di testo un controesempio.
      Esercizi: 10.11, 10.14, 10.15, 10.16, 10.17, 10.18, 10.19.
  • Parte 2
    Determinare se le formule sono (a) tautologie, (b) verità logiche ma non tautologie, (c) non vere. È possibile usare Fitch con Taut Con e FO Con per controllare le risposte.
    Esercizi: 10.1 (1-5).
    Ulteriori esercizi: 10.1 (6-10).
    
  • Parte 3
    Verificare la validità delle seguenti argomentazioni. Se il ragionamento è valido costruire una derivazione in Fitch, altrimenti costruire un contromodello con Tarski. Nelle derivazioni in Fitch è possibile usare TautCon per giustificare i passaggi che richiedono solo regole proposizionali.
    Esercizi 13.2, 13.3, 13.4, 13.5, 13.11, 13.12, 13.13, 13.14, 13.15, 13.16.
• 5 maggio - Laboratorio 8
  • Parte 1
    Esercizi di traduzione (alternanze di quanticatori, verica con Tarski): 11.16 (2,4,6,8,10) (traduzione in italiano); 11.17 (2,4,6,8,10) (traduzione in italiano).
    Ulteriori esercizi: tradurre le rimanenti frasi.
  • Parte 2
    Verificare la validità delle seguenti argomentazioni. Se il ragionamento è valido costruire una derivazione in Fitch, altrimenti costruire un contromodello con Tarski. Nelle derivazioni in Fitch è possibile usare TautCon per giustificare i passaggi che richiedono solo regole proposizionali.
    Esercizi 13.24, 13.25, 13.26, 13.27.
  • Parte 3
    Stessa modalità esercizi della parte 2. Esercizi 13.40, 13.341, 13.42.
  • Parte 4
    Costruire una derivazione in Fitch delle seguenti argomentazioni. È possibile usare TautCon per giustificare i passaggi che richiedono solo regole proposizionali. È possibile usare Ana Con, ma solo se le premesse e la conclusione della applicazione della regola sono letterali nel mondo dei blocchi oppure ⊥.
    Esercizi 13.32, 13.33
• 12 maggio - Laboratorio 9
  • Verificare la validità delle seguenti argomentazioni. Se il ragionamento è valido costruire una derivazione in Fitch, altrimenti definire un contromodello (notare che non si sta usando il lingaggio del mondo dei blocchi, quindi il contromodello non può essere costruito usando Traski).
    Esercizi 13.20 (vedi es. 12.1), 13.21 (vedi es. 12.2), 13.22 (vedi es. 12.3).
  • Costruire una derivazione in Fitch delle seguenti argomentazioni; è possibile usare TautCon per giustificare i passaggi che richiedono solo regole proposizionali.
    Esercizi 13.28, 13.29 (provare che assumendo ¬∃x Cube(x), si dimostra ⊥), 13.30, 13.31.
  • Costruire una derivazione in Fitch delle seguenti argomentazioni; è possibile usare TautCon e, dove strettamente necessario, AnaCon (solo per introdurre conclusioni atomiche o ⊥, avendo come premesse formule atomiche).
    Esercizi 13.34, 13.35, 13.38, 13.39.
  • Costruire una derivazione in Fitch delle seguenti argomentazioni; è possibile usare TautCon per giustificare i passaggi che richiedono solo regole proposizionali.
    Esercizi 13.43 (provare che, assumendo ¬∃x¬ Cube(x), si dimostra ⊥), 13.44, 13.45, 13.46, 13.49.
• 19 maggio - Laboratorio 10
  • Derivazioni in Fitch con principio di induzione (regola Peano Induction).
    Esercizi 16.29, 16.30, 16.31, 16.33 (vedere il suggerimento nel testo dell'esercizio).
  • Traduzioni con quantificazioni numeriche: esercizio 14.3 (traduzione in italiano e commenti).
  • Derivazioni in Fitch, è possibile usare TautCon per passaggi proposizional1.
    Esercizi 14.10, 14.11.
• 26 maggio - Laboratorio 11
  • Derivazioni in Fitch (senza induzione).
    Esercizi 13.47, 13.48, 13.50.
  • Derivazioni in Fitch che richiedono l'induzione (regola Peano Induction).
    Esercizi 16.34 (induzione su z), 16.35 (induzione su z).
  • Derivazioni in Fitch con uso di definizioni.
    Esercizi che non richiedono l'induzione: 16.39, 16.40, 16.41, 16.42.
    Esercizio 16.43, usando induzione e usando come lemma l'esercizio 16.29, in cui si dimostra che ∀ x (0 + x = x) (la cui dimostrazione richiede l'uso dell'induzione).
    Per usare una formula F come lemma è possibile seguire uno dei seguenti modi:
    1. si introduce F nella dimostrazione usando la regola Add Lemma... (dal menu Rule? che si usa quando si applica una regola, selezionare Lemma e poi Add Lemma...). È richiesto di includere un file .prf che contenga la derivazione della formula F. In questo modo il sistema verifica che la formula F possa essere correttamente usata come lemma (ossia, le assunzioni usate per dimostrare il lemma sono implicate dalle assunzioni della argomentazione che si sta considerando).
    2. (Consigliato). Più semplicemente, si aggiunge F alle premesse della argomentazione (eventualmente inserendo come commento che si tratta di un lemma già dimostrato). Usare il comando Add Premise del menu Proof; va prima attivata l'opzione Author mode del menu Edit. Notare che in questo modo il sistema non può controllare che il lemma sia usato in modo coerente.
    Esercizio 16.44, senza induzione; usare come lemma la formula ∀x ∀y (x + s(y) = s(x) +y) (esercizio 16.33).
    Esercizio 16.45, senza induzione; usare come lemma la formula ∀x ∀y ∀z( x+z = y+z → x = y) (esercizio 16.35) e la formula ∀x ∀y ( x+y = y+x) (esercizio 16.36).